没想到沦落成这样...

经过居家期间各种考试的轮流毒打，是时候好好补一补文化课了。

以下全文建议当乐子欣赏。

数学

被所有人吊起来锤，真的要没脸见人了...

1 函数

这里主要介绍一般函数的通用性质。

1.1 函数的定义域

具体函数的定义域很好求，注意几个容易错的点：

• 分母不为 $0$，往往要减掉一个单点。

• 根号下的式子 $\ge 0$。

• $A^0$ 这种东西，往往要减掉一个单点。

抽象函数的定义域要记住定义域是自变量的范围，而函数的参数的范围要一致。

例题 1.1.1：求函数 $f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)\left(2-x\right)^0}{\left(x-1\right)}$ 的定义域。

解析 1.1.1：普通的求定义域问题，稍微注意一下就可以。易知定义域为 $\left(-\infty,1\right)\cup \left(1,2\right)\cup \left(2,+\infty\right)$。

例题 1.1.2：若函数 $f\left(x-1\right)$ 的定义域为 $\left[-1,3\right]$，求 $f\left(\sqrt{x}-2\right)$ 的定义域。

解析 1.1.2：注意定义域是 $x$ 的范围，而函数的参数需要范围一致。简单计算可得答案为 $\left[0,16\right]$。

例题 1.1.3：已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt{-mx^2-\left(2m-n\right)x+3n-m}$ 的定义域为 $\left[-1,2\right]$，求 $\dfrac{m^2+n^2}{mn}$ 的值。

解析 1.1.3：定义域是一段区间说明首项系数 $-m<0$，且已经知道两根，暴力计算即可。

由题意

$-mx^2-\left(2m-n\right)x+3n-m=-m\left(x-2\right)\left(x+1\right)$

$-mx^2-\left(2m-n\right)x+3n-m=-mx^2-mx+2m$

对应次项系数必须相等，即有 $m=n$。

代入原式，答案为 $2$。

1.2 函数的值域

这里只讨论具体函数的值域求解问题。

不同的函数需要去发掘不同的性质，往往利用图像/单调性/导数/数形结合等方式求出上下界。

例题 1.2.1：求函数 $f\left(x\right)=\dfrac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 的值域。

解析 1.2.1：将函数变换成对勾函数的形式，结合单调性和图像可以求解。

当 $x=0$，$f\left(0\right)=1$。

当 $x\neq 0$，$f\left(x\right)=\cfrac{1+x+\cfrac{1}{x}}{x+\cfrac{1}{x}}=1+\cfrac{1}{x+\cfrac{1}{x}}$。

令 $g\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}$，定义域为 $\mathbb{R}^*$ ，值域为 $\left(-\infty,-2\right]\cup \left[2,+\infty\right)$。

故 $f\left(x\right)=1+\dfrac{1}{g\left(x\right)}$，值域为 $\left[\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right]$。

例题 1.2.2：求函数 $f\left(x\right)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 的定义域和值域，其中 $ac\neq 0$，$ad-bc\neq 0$。

解析 1.2.2：反比例函数的一般形式变换。定义域为 $\left(-\infty,-\dfrac{d}{c}\right)\cup \left(-\dfrac{d}{c},+\infty\right)$，值域为 $\left(-\infty,\dfrac{a}{c}\right)\cup \left(\dfrac{a}{c},+\infty\right)$。

例题 1.2.3：求函数 $f\left(x\right)=\dfrac{\cos x}{\sin x-3}$ 的值域。

解析 1.2.3：函数的导函数不复杂，直接求导即可。

对原函数求导有

$f'\left(x\right)=\dfrac{\left(-\sin x\right)\left(\sin x-3\right)-\cos ^2x}{\left(\sin x-3\right)^2}=\dfrac{3\sin x-1}{\left(\sin x-3\right)^2}$

当 $f\left(x\right)$ 取极值时有 $\sin x=\dfrac{1}{3}$，从而 $\cos x=\pm \dfrac{2}{3}\sqrt{2}$。

代入原函数，可得值域为 $\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right]$。

例题 1.2.4：求函数 $f\left(x\right)=\dfrac{e^x-1}{e^x+1}$ 的值域。

解析 1.2.4：导函数恒正，说明函数没有极值。感觉上当 $x$ 趋于正无穷和负无穷函数值会趋近于 $\pm 1$，反解证明一下即可。

由题意 $e^x=-\dfrac{f\left(x\right)+1}{f\left(x\right)-1}$，定义域为 $\mathbb{R}^*$，从而 $e^x>0$。

故 $\dfrac{f\left(x\right)+1}{f\left(x\right)-1}<0$，解得 $f\left(x\right)\in \left(-1,1\right)$。

例题 1.2.5：求函数 $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-6x+13}+\sqrt{x^2+4x+5}$ 的值域。

解析 1.2.5：观察得到函数为根号下两个平方和，可以考虑数形结合。

变形得到

$f\left(x\right)=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2+1^2}$

考虑点 $A\left(x,0\right)$ 和 $B\left(3,2\right)$ 以及 $C\left(-2,-1\right)$，则 $f\left(x\right)=|AB|+|AC|\geq |BC|=\sqrt{34}$。

故值域为 $\left[\sqrt{34},+\infty\right)$。

例题 1.2.6：求 $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-6x+13}-\sqrt{x^2+4x+5}$ 的值域。

解析 1.2.6：与上一题几乎一致，依然是数形结合。不同的是这次需要考虑函数下界。

变形得到

$f\left(x\right)=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2^2}-\sqrt{\left(x+2\right)^2+1^2}$

考虑点 $A\left(x,0\right)$ 和 $B\left(3,2\right)$ 以及 $C\left(-2,1\right)$，则 $f\left(x\right)=|AB|-|AC|\leq |BC|=\sqrt{26}$。

考虑下界。再次变形得到

$f\left(x\right)=\dfrac{-10x+8}{\sqrt{x^2-6x+13}+\sqrt{x^2+4x+5}}=\cfrac{-10+\cfrac{8}{x}}{\sqrt{1-\cfrac{6}{x}+\cfrac{13}{x^2}}+\sqrt{1+\cfrac{4}{x}+\cfrac{5}{x^2}}}$

考虑 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f\left(x\right)=\dfrac{-10}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=-5$，从而 $f\left(x\right)$ 下界为 $-5$。

故值域为 $\left(-5,\sqrt{26}\right]$。

例题 1.2.7：求函数 $f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3-2x}+5}{\sqrt{2x-2}+1}$ 的值域。

解析 1.2.7：观察函数可以发现在定义域内单调，极值为处端点函数值。

定义域为 $\left[1,\dfrac{3}{2}\right]$，且函数在定义域内单调递减。值域为 $\left[f\left(\dfrac{3}{2}\right),f\left(1\right)\right]=\left[\dfrac{5}{2},6\right]$。

例题 1.2.8：求函数 $f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}$ 的值域。

解析 1.2.8：根据图像分析，容易发现这是单调递减的函数。

因式分解得到

$f(x)=\sqrt{8-x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{x-6}\right)=\dfrac{6\sqrt{8-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-6}}$

易知定义域为 $[6,8]$，且在定义域内单调递减，故值域为 $[0,2\sqrt{3}]$。

例题 1.2.9：求函数 $f(x)=\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2\right)\left(\sqrt{1-x^2}+1\right)$ 在 $x\in\left[0,1\right]$ 的值域。

解析 1.2.9：观察函数有重复出现的元素，考虑换元。

令 $a=\sqrt{1+x}$，$b=\sqrt{1-x}$，且 $a^2+b^2=2$。

则有

$\begin{aligned}f(x)&=(a+b+2)(ab+1)\\&=\dfrac{1}{2}(a+b+2)(a^2+b^2+2ab)\\&=\dfrac{1}{2}(a+b+2)(a+b)^2\end{aligned}$

令 $t=a+b$，当 $x\in[0,1]$ 有 $t\in[\sqrt{2},2]$，即 $f(x)=\dfrac{1}{2}t^3+t^2$。

注意到 $f(x)$ 在 $t\in[\sqrt{2},2]$ 单调递增，故值域为 $\left[f(\sqrt{2}),f(2)\right]=[2+\sqrt{2},8]$。

例题 1.2.10：求函数 $f\left(x\right)=1+x+\sqrt{1-x^2}$ 的值域。

解析 1.2.10：注意带有平方和为 $1$ 的项，直接分析没有显然的做法，可以考虑三角换元。

令 $\cos\alpha=x$，$\sin\alpha = \sqrt{1-x^2}$，则 $f\left(x\right)=\sin\alpha+\cos\alpha+1$。

由于 $\sin\alpha\geq 0$ 且 $\cos\alpha\in \left[-1,1\right]$ 有 $\alpha\in\left[0,\pi\right]$。

故 $f\left(x\right)=\sin\alpha+\cos\alpha+1=\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)+1$。

又 $\alpha+\dfrac{\pi}{4}\in \left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right]$，从而 $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)\in\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2},1\right]$。

故值域为 $\left[0,1+\sqrt{2}\right]$。

1.3 函数解析式

这一类问题是抽象函数解析式相关问题。求解时要额外注意定义域问题。

例题 1.3.1：若函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(\sqrt{x-9}+1\right)=3x-2$，求 $f\left(x\right)$ 解析式。

解析 1.3.1：常规换元，需要注意定义域。

令 $t=\sqrt{x-9}$，则有 $x=t^2+9$。

令 $f\left(x\right)=g\left(t+1\right)=3t^2+25=3\left(t+1\right)^2-6\left(t+1\right)+28$，函数 $g$ 定义域为 $\left[0,+\infty\right)$。

故 $f\left(x\right)=3x^2-6x+28$，定义域为 $\left[0,+\infty\right)$。

例题 1.3.2：已知函数 $f\left(x\right)$ 在定义域 $\left(0,+\infty\right)$ 上是单调函数。若 $\forall x\in \left(0,+\infty\right)$ 都有 $f\left(f\left(x\right)-\dfrac{1}{x}\right)=2$，求 $f\left(x\right)$ 的解析式。

解析 1.3.2：单调函数保证了只会有一个点的函数值为 $2$，提示了函数为 $g\left(x\right)+C$ 的结构。

设 $f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+t$，其中 $t$ 为常数。

从而 $f\left(f\left(x\right)-\dfrac{1}{x}\right)=f\left(t\right)=t+\dfrac{1}{t}=2$，解得 $t=1$。

故 $f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+1$，定义域为 $\left(0,+\infty\right)$。

例题 1.3.3：已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(x\right)+3f\left(-x\right)=3x-1$，求 $f\left(x\right)$。

解析 1.3.3：一个典型的代换问题，只需要把所有 $x$ 换成 $-x$ 即可。

令 $x=-x$，则有 $f\left(-x\right)+3f\left(x\right)=-3x-1$。联立解方程可得 $f\left(x\right)=-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{4}$。

例题 1.3.4：已知函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left(x\right)+2f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=3x$，求 $f\left(x\right)$。

解析 1.3.4：与上一题类似，不过这次是一个三元轮换的结构，仍然是解方程组。

令 $x=\dfrac{1}{1-x}$，则有 $f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)+2f\left(1-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3}{1-x}$。

再令 $x=\dfrac{1}{1-x}$，则有 $f\left(1-\dfrac{1}{x}\right)+2f\left(x\right)=3-\dfrac{3}{x}$。

联立以上三式，解得 $f(x)=\dfrac{x^3+3x^2-6x+4}{3x^2-3x}$。

例题 1.3.5：已知 $f(0)=1$，且对于任意实数 $a,b$ 都满足 $f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)$，求 $f(x)$。

解析 1.3.5：一个简单函数方程，抓住特殊点即可。

令 $a=0$，则有 $f(-b)=f(0)-b(-b+1)=b^2-b+1$，故 $f(x)=x^2+x+1$。

例题 1.3.6：设函数 $f(x)$ 对所有 $x>0$ 均有定义，且满足：

• 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。

• 对于所有 $x>0$ 均有 $f(x)>\dfrac{1}{x}$。

• 对于所有 $x>0$ 均有 $f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac{1}{x}\right)=1$。

求 $f(1)$ 的值，并找出一个满足要求的 $f(x)$。

解析 1.3.6：先从简单的形式入手。

令 $x=1$，则有 $f(1)\cdot f(f(1)+1)=1$。

令 $t=f(1)$，则有 $t\cdot f(t+1)=1$。

由 $f(1)>-1$ 有 $t+1>0$，令 $x=t+1$。

则有 $f(t+1)\cdot f\left(f(t+1)+\dfrac{1}{t+1}\right)=\dfrac{1}{t}\cdot f\left(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t+1}\right)=1$，即 $f\left(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t+1}\right)=t$。

由单调性有 $\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t+1}=1$，解得 $t=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。

考虑到若 $t>0$，则由单调性有 $f(t+1)>f(1)=t$。

又 $t\cdot f(t+1)=1$，只能 $t<1$。

故 $t=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ 不符合条件，从而 $f(1)=t=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$。

猜测 $f(x)=\dfrac{t}{x}$。

此时 $f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{t}{x}\cdot f\left(\dfrac{t+1}{x}\right)=\dfrac{t}{x}\cdot \dfrac{tx}{t+1}=\dfrac{t^2}{t+1}=1$，满足要求。

1.4 函数的单调性

设函数 $f(x)$ 定义域为 $D$，若对于任意定义域内的 $x_1<x_2$ 满足 $f(x_1)<f(x_2)$ 则称 $f(x)$ 为增函数，否则若满足 $f(x_1)>f(x_2)$ 则称 $f(x)$ 为减函数，否则没有全局单调性。

单调性的证明一般都直接使用定义，有时候采取求导等方法先求出单调区间再证明。

一定要注意很多函数会在不同的区间中以不同的方式单调，描述其单调区间不能并起来。

例题 1.4.1：求函数 $f(x)=x-\sqrt{x^2-2}$ 的单调性。

解析 1.4.1：利用定义即可。

易知定义域为 $(-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)$。对函数变形有

$f(x)=\dfrac{2}{x+\sqrt{x^2-2}}$

取 $x_1<x_2\leq-\sqrt{2}$，考虑

$\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1)&=\dfrac{2}{x_2+\sqrt{x_2^2-2}}-\dfrac{2}{x_1+\sqrt{x_1^2-2}}\\ &=2\dfrac{x_1+\sqrt{x_1^2-2}-x_2-\sqrt{x_2^2-2}}{(x_2+\sqrt{x_2^2-2})(x_1+\sqrt{x_1^2-2})}\end{aligned}$

易知分母大于 $0$，对于分子

$\begin{aligned} &x_1+\sqrt{x_1^2-2}-x_2-\sqrt{x_2^2-2}>0\\ \iff&\sqrt{x_1^2-2}-\sqrt{x_2^2-2}>x_2-x_1\\ \iff&(x_1^2-2)-2\sqrt{(x_1^2-2)(x_2^2-2)}+(x_2^2-2)>x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\\ \iff&x_1x_2-2>\sqrt{(x_1^2-2)(x_2^2-2)}\\ \iff&(x_1x_2)^2-4x_1x_2+4>(x_1^2-2)(x_2^2-2)\\ \iff&x_1^2+x_2^2>x_1x_2 \end{aligned}$

由 $x_1<x_2$ 上式成立，故分子大于 $0$，即 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt{2}]$ 单调递增。

取 $\sqrt{2}\leq x_1<x_2$，同理可得 $f(x_2)<f(x_1)$，故 $f(x)$ 在 $[\sqrt{2},+\infty)$ 单调递减。

综上所述，$f(x)$ 在 $(-\infty,-\sqrt{2}]$ 单调递增，在 $[\sqrt{2},+\infty)$ 单调递减。

例题 1.4.2：若函数 $f(x)=|x-2|(x-4)$ 在区间 $(5a,4a+1)$ 单调递减，求 $a$ 的取值范围。

解析 1.4.2：画出图像观察即可。

根据图像容易得到 $f(x)$ 在区间 $[2,3]$ 单调递减，从而有

$\left\{ \begin{aligned} &5a\ge 2\\ &4a+1\le 3\\ &4a+1>5a \end{aligned} \right.$

解得 $a\in\left[\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{2}\right]$。

例题 1.4.3：探求函数 $f(x)=x^3-3x$ 的单调性。

解析 1.4.3：一眼求导，鉴定为水题。

求导有 $f'(x)=3x^2-3$，易知 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 单调递增，$(-1,1)$ 单调递减，$(1,+\infty)$ 单调递增。

但是考试用求导会爆零，怎么办呢？为了写过程，不能用求导，但是可以使用求导的思想。

取 $x_1<x_2$，则有

$f(x_2)-f(x_1)=x_2^3-3x_2-x_1^3+3x_1=(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3)$

设 $x_1=x_2-\Delta x$，考虑当 $\Delta x\rightarrow 0$，则有

$f(x_2)-f(x_1)\rightarrow \Delta x(3x_1^2-3)$

容易发现决定单调性的转折点为 $\pm 1$，从而 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 单调递增，$(-1,1)$ 单调递减，$(1,+\infty)$ 单调递增。

例题 1.4.4：若函数 $f(x)=x^2+x+\dfrac{3}{x}$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围。

解析 1.4.4：与上一题类似，本质仍然是求导，但是需要用不体现出求导的方法书写。

取 $x_1<x_2$，则有

$\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1)&=x_2^2+x_2+\dfrac{3}{x_2}-x_1^2-x_1-\dfrac{3}{x_1}\\ &=(x_2-x_1)\left(x_1+x_2+1-\dfrac{3}{x_1x_2}\right) \end{aligned}$

考虑当 $x_1\rightarrow x_2$，则有 $f(x_2)-f(x_1)\rightarrow 2x_1+1-\dfrac{3}{x_1^2}$。

注意到 $1$ 为转折点，故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 单调递增，即 $a\in[1,+\infty)$。

例题 1.4.5：求函数 $f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-1}$ 的值域和单调区间。

解析 1.4.5：先求导算出来答案，再继续使用上面的书写。

求导有 $f'(x)=-\dfrac{x^2-4x+1}{(x^2-1)^2}$，极值点为 $x=2\pm\sqrt{3}$。

原函数渐近线为 $x=\pm1$。

当 $x\rightarrow-\infty$ 时，$f(x)\rightarrow0$。

当 $x<-1$ 且 $x\rightarrow-1$ 时，$f(x)\rightarrow-\infty$。

当 $x>-1$ 且 $x\rightarrow-1$ 时，$f(x)\rightarrow+\infty$。

当 $x<1$ 且 $x\rightarrow 1$ 时，$f(x)\rightarrow+\infty$。

当 $x>1$ 且 $x\rightarrow 1$ 时，$f(x)\rightarrow-\infty$。

当 $x\rightarrow+\infty$ 时，$f(x)\rightarrow0$。

令 $x=2-\sqrt{3}$，则 $f(x)=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

令 $x=2+\sqrt{3}$，则 $f(x)=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

故 $f(x)$ 值域为 $\left(-\infty,1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\left[1+\dfrac{\sqrt{3}}{2},+\infty\right)$，在 $(-\infty,-1)$ 和 $(-1,2-\sqrt{3})$ 和 $(2+\sqrt{3},+\infty)$ 单调递减，在 $(2-\sqrt{3},1)$ 和 $(1,2+\sqrt{3})$ 单调递增。

例题 1.4.6：设 $f(x)$ 为定义在 $(3,10)$ 上的增函数，且 $f(x)<-1$，求函数 $\dfrac{1}{f\left(\frac{1}{5-2x}\right)}$ 的定义域和单调性。

解析 1.4.6：先求出定义域，通过极值点判断增减性。

由题意 $3<\dfrac{1}{5-2x}<10$，解得 $\dfrac{7}{3}<x<\dfrac{49}{20}$。

令 $m=\lim\limits_{x\rightarrow 3}f(x)$，$n=\lim\limits_{x\rightarrow 10}f(x)$，则有 $m<n<-1$，故 $\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{m}$。

从而 $\dfrac{1}{f\left(\frac{1}{5-2x}\right)}$ 单调递减。

1.5 函数的奇偶性

对于定义在 $D$ 上的函数 $f(x)$，若对于任意 $x\in D$ 都有 $f(x)=f(-x)$，则称函数 $f(x)$ 为偶函数。若对于任意 $x\in D$ 都有 $f(x)=-f(-x)$，则称函数 $f(x)$ 为奇函数。

例题 1.5.1：设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，且对于任意实数 $x$ 均满足 $2f(x)+f(x^2-1)=1$，求 $f(-\sqrt{2})$。

解析 1.5.1：观察函数满足的式子，容易发现函数的奇偶性。

易知 $f(x)=\dfrac{1-f(x^2-1)}{2}=f(-x)$，从而 $f(x)$ 为偶函数。

令 $x=1$，有 $2f(1)+f(0)=1$。

令 $x=0$，有 $2f(0)+f(-1)=2f(0)+f(1)=1$。

联立解得 $f(0)=f(-1)=f(1)=\dfrac{1}{3}$。

令 $x=-\sqrt{2}$，有 $2f(-\sqrt{2})+f(1)=1$，故 $f(-\sqrt{2})=\dfrac{1}{3}$。

例题 1.5.2：设实数 $0<a<b<c$，判断 $f(x)=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{|x+b|+|x-c|}$ 的奇偶性。

解析 1.5.2：注意到 $0<a<b<c$ 之间有大小关系，可以利用来打开绝对值。

易知定义域为 $[-a,a]$，故 $f(x)=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{(x+b)-(x-c)}=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{b+c}$。

易知 $f(x)=f(-x)$，即 $f(x)$ 为偶函数。

1.6 函数的对称性和周期性

考虑函数 $f(x)$ 自身的对称性，这里是一个函数自己的性质。

• 若满足 $f(a+x)=f(b-x)$，则 $f(x)$ 关于 $x=\dfrac{a+b}{2}$ 对称。

• 若满足 $f(a+x)+f(b-x)=0$，则 $f(x)$ 关于 $\left(\dfrac{a+b}{2},0\right)$ 对称。

• 若满足 $f(a+x)+f(b-x)=c$，则 $f(x)$ 关于 $\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{c}{2}\right)$ 对称。

考虑两个函数之间的对称性，这里是两个函数之间的性质。

• 函数 $f(a+x)$ 和 $f(b-x)$ 关于 $x=\dfrac{b-a}{2}$ 对称。

• 函数 $f(a+x)$ 和 $-f(b-x)$ 关于 $\left(\dfrac{b-a}{2}, 0\right)$ 对称。

• 函数 $f(a+x)$ 和 $c-f(b-x)$ 关于 $\left(\dfrac{b-a}{2}, \dfrac{c}{2}\right)$ 对称。

函数满足多重对称会导致函数具有周期，函数迭代也可以形成周期。

例题 1.6.1：设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且对于任意实数 $x$ 满足 $f(x+2)=-f(x)$。若当 $x\in[0,2]$ 时 $f(x)=2x-x^2$，则当 $x\in[-3,0]$ 时，求 $f(x)$ 的解析式。

解析 1.6.1：奇函数加上一条对称轴，说明函数为周期函数。

由 $f(x)$ 为奇函数有 $f(x+2)=-f(x)=f(-x)$，故 $f(x)$ 关于 $x=1$ 对称。

故 $f(x)$ 周期为 $4$。

从而当 $x\in[-2,0]$ 时 $f(x)=x^2+2x$，当 $x\in[-3,-2]$ 时 $f(x)=-x^2+6x-8$。

例题 1.6.2：设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(x)=-f(x-2)$，若当 $x\in(0,1]$ 时， $f(x)=3^x-1$，求 $f(\log_354)$ 的值。

解析 1.6.2：奇函数加上一条对称轴，说明函数为周期函数。

由 $f(x)$ 为奇函数有 $f(x)=-f(x-2)=f(-x-2)$，故 $f(x)$ 关于 $x=-1$ 对称。

故 $f(x)$ 周期为 $4$。

故 $f(\log_354)=f(3+\log_32)=f(-1+\log_32)=f\left(\log_3\dfrac{2}{3}\right)=-f\left(\log_3\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}$。

例题 1.6.3：设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(x+1)$ 为偶函数。若在 $x\in(0,1]$ 时 $f(x)=e^{x-1}$，则当 $x\in(2,3]$ 时，求 $f(x)$ 的解析式。

解析 1.6.3：平移后变为偶函数，说明函数具有周期性。

易知 $f(x)$ 关于 $x=0$ 和 $x=1$ 对称，从而 $f(x)$ 具有周期 $4$。

当 $x\in(1,2]$ 时，$f(x)=e^{-x+1}$。

当 $x\in(2,3]$ 时，$f(x)=-e^{x-3}$。

例题 1.6.4：设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，满足 $f(0)\neq 0$ 且存在零点。若对于任意 $x,y\in\mathbb{R}$ 都有 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，求证：$f(x)$ 为偶函数且有周期。

解析 1.6.4：先代入几个特殊点试一试，逐渐寻找性质。

令 $x=y=0$，则有 $f(0)+f(0)=2f^2(0)$，由 $f(0)\neq 0$ 可得 $f(0)=1$。

令 $x=0$，则有 $f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)$，故 $f(y)=f(-y)$，即 $f(x)$ 为偶函数。

设零点为 $c$，则 $f(c)=0$。

令 $y=c$，则有 $f(x+c)+f(x-c)=2f(x)f(c)=0$，故 $f(x+c)=-f(x-c)$。

从而 $f(x+2c)=-f(x)=f(x-2c)$，从而 $f(x)$ 具有周期 $4c$。

例题 1.6.5：设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，且存在实数 $c$ 使得 $|f(x)|\le c$。若对于任意实数 $x$ 都有 $f(x+10)+f(x+3)=f(x+6)+f(x+7)$，求证：$f(x)$ 为周期函数。

解析 1.6.5：函数有界说明如果能构造出“等差”即有周期。

原式即 $f(x+7)+f(x)=f(x+3)+f(x+4)$，故有

$\begin{aligned} f(x+7)-f(x+4)&=f(x+3)-f(x)\\ f(x+10)-f(x+7)&=f(x+6)-f(x+3)\\ f(x+13)-f(x+10)&=f(x+9)-f(x+6)\\ f(x+16)-f(x+13)&=f(x+12)-f(x+9) \end{aligned}$

左右分别相加，有 $f(x+16)-f(x+12)=f(x+4)-f(x)$。

类似的方法继续，故有

$\begin{aligned} f(x+16)-f(x+12)&=f(x+4)-f(x)\\ f(x+20)-f(x+16)&=f(x+8)-f(x+4)\\ f(x+24)-f(x+20)&=f(x+12)-f(x+8) \end{aligned}$

左右分别相加，有 $f(x+24)-f(x+12)=f(x+12)-f(x)$。

由函数的有界性，只能有 $f(x+24)-f(x+12)=f(x+12)-f(x)=0$，故 $f(x)$ 为周期函数。

例题 1.6.6：设函数 $f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R}$，且满足 $f(x+2)(1-f(x))=1+f(x)$。若 $f(1)=2+\sqrt{3}$，求 $f(2005)$ 的值。

解析 1.6.6：这是一个数列周期循环的形式，找规律即可。

令 $t=f(1)$，则由题意

$\begin{aligned} f(3)&=\dfrac{1+f(1)}{1-f(1)}=\dfrac{1+t}{1-t}\\ f(5)&=\dfrac{1+f(3)}{1-f(3)}=-\dfrac{1}{t}\\ f(7)&=\dfrac{1+f(5)}{1-f(5)}=\dfrac{t-1}{t+1}\\ f(9)&=\dfrac{1+f(7)}{1-f(7)}=t \end{aligned}$

从而有 $f(x)=f(x+8)$，故 $f(2005)=f(5)=-\dfrac{1}{f(1)}=2-\sqrt{3}$。

例题 1.6.7：设 $f_1(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$。对于 $n\in\mathbb{Z}^+$ 定义 $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$，求 $f_{2022}(x)$。

解析 1.6.7：函数迭代要有能找到周期的信念，分式线性函数周期不超过 $6$，一点点算即可。

由题意

$\begin{aligned} f_1(x)&=\dfrac{2x-1}{x+1}\\ f_2(x)&=f_1(f_1(x))=\dfrac{x-1}{x}\\ f_3(x)&=f_1(f_2(x))=\dfrac{x-2}{2x-1}\\ f_4(x)&=f_1(f_3(x))=\dfrac{1}{1-x}\\ f_5(x)&=f_1(f_4(x))=\dfrac{x+1}{2-x}\\ f_6(x)&=f_1(f_5(x))=x \end{aligned}$

故 $f_i(x)=f_{i+6}(x)$，从而 $f_{2002}(x)=f_4(x)=\dfrac{1}{1-x}$。

1.7 函数综合

这里放一些综合的函数题目，不涉及幂指对。

例题 1.7.1：设函数

$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &x^2-1 &(x\ge a)\\ &|x-a-1|+a &(x\lt a) \end{aligned} \right.$

若函数 $f(x)$ 有最小值，求 $a$ 的取值范围。

解析 1.7.1：考虑到所有情况即可。

在分界点处已经满足 $x^2-1\le |x-a-1|+a$，只需 $a^2-1\le a+1$，解得 $a\in [-1,2]$。

分界点小于对称轴且 $(|x-a-1|+a)_{\min}\ge(x^2-1)_{\min}$，只需

$\left\{ \begin{aligned} &a\le0\\ &a+1\ge-1 \end{aligned} \right.$

解得 $a\in[-2,0]$，综上有 $a\in[-2,2]$。

例题 1.7.2：若函数 $f(x)=2x^2+(x-a)|x-a|$ 在区间 $[-3,0]$ 不是单调函数，求 $a$ 的取值范围。

解析 1.7.2：决定二次函数单调性的关键在于对称轴。

化简有

$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &3x^2-2ax+a^2&(x\ge a)\\ &x^2+2ax-a^2&(x<a) \end{aligned} \right.$

两函数对称轴为 $x_1=\dfrac{a}{3}$，$x_2=-a$。

1. $-3<x_1<0$，解得 $a\in(-9,0)$。

2. $-3<x_2<0$，解得 $a\in(0,3)$。

故 $a\in(-9,0)\cup(0,3)$。

例题 1.7.3：若关于 $x$ 的不等式 $2-x^2\ge|x-a|$ 有正数解，求 $a$ 的取值范围。

解析 1.7.3：不等式有正数解的必要条件为等式有正数根，考虑临界情况即可。

1. $y=2-x^2$ 与 $y=a-x$ 相切 ，只需 $\Delta=1-4(a-2)=0$，解得 $a=\dfrac{9}{4}$。

2. $y=x-a$ 恰过点 $(0,2)$，解得 $a=-2$ .

故 $a\in\left(-2,\dfrac{9}{4}\right]$。

例题 1.7.4：若对于任意 $x\in\mathbb{R}$ 都有 $x^4+ax^3+(a+3)x^2+ax+1>0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解析 1.7.4：系数对称，考虑化成对勾函数形式。

原式化为 $x^2+ax+(a+3)+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^2}>0$。

令 $t=x+\dfrac{1}{x}$，则有 $|t|\ge2$，原式化为 $t^2+at+a+1>0$，令不等式左边为 $f(t)$。

若 $f(t)$ 全局无实根，只需 $\Delta=a^2-4(a+1)<0$，解得 $a\in(2-2\sqrt{2},2+2\sqrt{2})$。

若 $f(t)$ 只在 $|t|\ge2$ 无实根，需要满足

$\left\{ \begin{aligned} &-2<-\dfrac{a}{2}<2\\ &f(2)=3a+5>0\\ &f(-2)=-a+5>0 \end{aligned} \right.$

解得 $a\in\left(-\dfrac{5}{3},4\right)$，综上有 $a\in\left(-\dfrac{5}{3},2+2\sqrt{2}\right)$。

例题 1.7.5：已知实数 $x,y$ 满足 $(3x+y)^5+x^5+4x+y=0$，求 $4x+y$的值 。

解析 1.7.5：对于复杂方程，构造单调递增的奇函数是常用的处理手段。

设 $f(t)=t^5+t$，容易得到 $f(t)$ 为奇函数且单调递增。

则原式化为 $f(3x+y)+f(x)=0$，故只能 $3x+y+x=4x+y=0$。

例题 1.7.6：若实数 $x,y$ 满足 $x^3-3x^2+5x=1$ 且 $y^3-3y^2+5y=5$，求 $x+y$ 的值。

解析 1.7.6：仍然是组成单调递增的奇函数，但是这里需要我们配出 $0$。

变形得到

$\left\{ \begin{aligned} &x^3-3x^2+3x-1+2x-2=-2\\ &y^3-3y^2+3y-1+2x-2=2 \end{aligned} \right.$

设函数 $f(t)=t^3+2t$，易知 $f(t)$ 为奇函数且单调递增。

故 $f(x-1)+f(y-1)=0$，即 $x+y-2=0$，解得 $x+y=2$。

例题 1.7.7：解不等式 $\dfrac{8}{(x+1)^3}+\dfrac{10}{x+1}-x^3-5x>0$。

解析 1.7.7：还是单调递增奇函数的形式，换成不等式没有本质区别。

令 $f(t)=t^3+5t$，易知 $f(t)$ 为奇函数且单调递增。

原式化为 $f\left(\dfrac{2}{x+1}\right)>f(x)$，只需要 $\dfrac{2}{x+1}>x$，解得 $x\in(-\infty,-2)\cup(-1,1)$。

例题 1.7.8：设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且当 $x\ge0$ 时有 $f(x)=x^2$。若对于任意 $x\in[a,a+2]$ 都有 $f(x+a)\ge2f(x)$ 成立，求 $a$ 的取值范围。

解析 1.7.8：函数已经确定，转换为二次函数单调性问题。

由 $f(x)$ 为奇函数有当 $x<0$ 时 $f(x)=-x^2$，从而 $f(x)$ 单调递增。

故 $f(x+a)\ge2f(x)\iff f(x+a)\ge f(\sqrt{2}x)$，只需 $x+a\ge\sqrt{2}x$。

又 $x\in[a,a+2]$，故只需 $a\ge(\sqrt{2}-1)(a+2)$，解得 $a\ge\sqrt{2}$。

2 指数与指数函数

2.1 指数相关问题

例题 2.1.1：已知 $a>0$，$b>0$，且满足 $a^b=b^a$，$b=9a$，求 $a$ 的值。

解析 2.1.1：这种问题的处理关键是要把形式统一。

易知 $a^{9a}=(9a)^a$，即 $(a^a)^9=9^a\times a^a$，从而有 $(a^8)^a=9^a$，故 $a=\sqrt[4]{3}$。

例题 2.1.2：已知 $x>0$ 且满足 $x^{x^6}=144$，求 $x$ 的值。

解析 2.1.2：仍然是需要统一形式。

由题意 $(x^{x^6})^6=x^{6x^6}=(x^6)^{x^6}=144^6=12^{12}$，从而 $x=12^{\frac{1}{6}}$。

例题 2.1.3：已知实数 $a>0$，变量 $x,y$ 满足 $a^y\cdot x=x^2+a$，且当 $x=b$ 时 $y$ 取到最小值 $1$，求 $a,b$ 的值。

解析 2.1.3：等式连接说明两边增减性是一样的。

由题意 $a^y=x+\dfrac{a}{x}\ge2\sqrt{a}$。

当 $y$ 取得最小值 $1$，右式也应取得最小值。故 $a=2\sqrt{a}$，解得 $a=4$。

此时 $b=\sqrt{a}=2$。

2.2 指数函数的定义域和值域

指数函数是形如 $y=a^x$ 的函数，其中 $a \in (0,1)\cup(1,+\infty)$。其定义域为 $\mathbb{R}$ , 值域为 $(0,+\infty)$。

对于 $y=a^{f(x)}$ 形式的函数，需要根据 $f(x)$ 具体分析。

例题 2.2.1：求函数 $f(x)=\dfrac{x}{1-a^x}-\dfrac{x}{a}$ 的奇偶性。

解析 2.2.1：求出 $f(-x)$ 即可。

定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

易知 $f(-x)=\dfrac{-x}{1-a^{-x}}+\dfrac{x}{a}=\dfrac{xa^x}{1-a^x}+\dfrac{x}{a}$。

若 $f(x)=f(-x)$，化简得 $(a-2)x=a^x(a-2)x$，恒成立即有 $a=2$。

若 $f(x)=-f(-x)$，化简得 $\dfrac{(x+1)a^x}{1-a^x}=0$，显然不恒成立。

故 $f(x)$ 在 $a=2$ 时为偶函数，其他没有奇偶性。

例题 2.2.2：求函数 $f(x)=9^{x-0.5}-2\times3^x-2$ 在区间 $[-1,2]$ 上的值域。

解析 2.2.2：直接求值域的问题大多都是转换为二次函数求解。

易知 $f(x)=\dfrac{1}{3}\times3^{2x}-2\times3^x-2$。

令 $t=3^x$，则 $t\in\left[\dfrac{1}{3},9\right]$，且有 $f(x)=\dfrac{1}{3}t^2-2t-2$。

易知值域为 $[-5,7]$。

例题 2.2.3：若方程 $5^x=\dfrac{a+3}{5-a}$ 有负根，求 $a$ 的取值范围。

解析 2.2.3：方程有负根等价于 $5^x\in(0,1)$。故只需 $\dfrac{a+3}{5-a}\in(0,1)$，解得 $a\in(-3,1)$。

例题 2.2.4：关于 $x$ 的方程 $m\cdot4^{x^2+x-1}-m\cdot2^{x^2+x+1}+5m-1=0$ 有正实数解，求 $m$ 的取值范围。

解析 2.2.4：形式看着很复杂，实际上仍然可以换元来简化形式。

令 $t=2^{x^2+x+1}$，则 $f(t)=\dfrac{1}{16}mt^2-mt+5m-1$。

原方程有正根 $\iff$ $f(t)$ 存在大于 $2$ 的零点。

$m=0$ 显然不成立，舍去。

$f(t)$ 对称轴为 $x=8$，故只需 $\Delta=m^2-\dfrac{1}{4}m(5m-1)\ge0$。

解得 $m\in(0,1]$。

2.3 指数函数的单调性

对于 $y=a^x$，当 $a\in(0,1)$ 时函数单调递减，当 $a\in(1,+\infty)$ 时函数单调递增。

对于 $y=a^{f(x)}$，当 $a\in(0,1)$ 时函数单调区间与 $f(x)$ 相反，当 $a\in(1,+\infty)$ 时函数单调区间与 $f(x)$ 相同。

例题 2.3.1：函数 $f(x)=a^{2x}+3a^x-2$ 在 $x\in[-2,1]$ 时的最大值为 $8$，求 $a$ 的值。

解析 2.3.1：一眼二次函数，最大值在端点取到。

令 $t=3^x$，则 $f(x)=t^2+3t-2$。

令 $f(x)=8$，解得 $t=2$ 或 $-5$，由 $t>0$ 有 $t=2$。

当 $a^{-2}=2$，解得 $a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，此时需要 $0<a<1$，符合。

当 $a^{1}=2$，解得 $a=2$，此时需要 $a>1$，符合。

故 $a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $2$。

例题 2.3.2：已知函数 $f(x)=a^x(a^x-5a^2-1)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 为增函数，求 $a$ 的取值范围。

解析 2.3.2：转换为二次函数处理，需要讨论 $a$ 的范围。

令 $t=a^x$，则 $f(x)=t^2-(5a^2+1)t$，对称轴为 $x=\dfrac{5a^2+1}{2}$。

当 $0<a<1$ 时有 $0<t<1$，只需 $\dfrac{5a^2+1}{2}\ge1$，解得 $a\in\left[\dfrac{\sqrt{5}}{5},1\right)$。

当 $a>1$ 时有 $t\ge1$，只需 $\dfrac{5a^2+1}{2}\le1$，无解。

综上有 $a\in\left[\dfrac{\sqrt{5}}{5},1\right)$。

例题 2.3.3：求方程 $\left(\dfrac{3}{19}\right)^x+\left(\dfrac{5}{19}\right)^x+\left(\dfrac{11}{19}\right)^x=2\sqrt{x-1}$ 的实根个数。

解析 2.3.3：观察函数性质，通过单调性解题。

令 $f(x)=\left(\dfrac{3}{19}\right)^x+\left(\dfrac{5}{19}\right)^x+\left(\dfrac{11}{19}\right)^x$，则其定义域为 $\mathbb{R}$。

令 $g(x)=2\sqrt{x-1}$，则其定义域为 $[1,+\infty)$。

易知 $f(x)$ 单调递减，$g(x)$ 单调递增，所以实根个数不超过 $1$。

令 $x=1$，则 $f(x)=1$，$g(x)=0$。

令 $x\rightarrow +\infty$，则 $f(x)\rightarrow0$，$g(x)\rightarrow+\infty$。

结合单调性易知实根个数为 $1$。

例题 2.3.4：设函数 $f(x)=a^x+(m-2)b^x$，其中 $a>0$ 且 $a\neq 1$，$b>0$ 且 $b\neq 1$。若 $a<b$，解不等式 $f(x)>0$。

解析 2.3.4：指数函数值域为 $(0,+\infty)$，提示 $m-2$ 的要求。

若 $m-2\geq 0$，则有 $f(x)$ 恒大于 $0$，故解集为 $\mathbb{R}$。

若 $m-2<0$，则有 $f(x)>0\iff a^x>(2-m)b^x\iff \left(\dfrac{a}{b}\right)^x>2-m$。

考虑 $a<b$，故左式单调递减。

注意到当 $x=\log_{\frac{a}{b}}(2-m)$ 时左右相等，故解集为 $(-\infty,\log_{\frac{a}{b}}(2-m))$。

3 对数与对数函数

3.1 对数的运算法则

对数运算遵循以下几条规则，证明在此略去。

1. $a^{\log_ab}=\log_a{a^b}=b$。

2. $\log_a{b^t}=t\log_ab$。

3. $\log_a(mn)=\log_am+\log_an$。

4. $\log_a{\dfrac{m}{n}}=\log_am-\log_an$。

5. （换底公式）$\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$。

6. $\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}$。

7. $\log_{a^m}{b^n}=\dfrac{n}{m}\log_ab$。

8. $\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac$。

利用这些运算律可以解决一些计算题。

例题 3.1.1：计算：$(\log_43+\log_83)(\log_35+\log_95)(\log_52+\log_{25}2)$。

解析 3.1.1：注意到底数都是一些幂次，可以提出来。

原式 $=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)\log_23\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\log_35\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\log_52=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{8}$。

例题 3.1.2：计算：$2^{\log_7{\frac{21}{5}}}\cdot3^{\log_7{\frac{35}{2}}}\cdot5^{\log_7{\frac{14}{3}}}$。

解析 3.1.2：指数很不好看，我们可以利用换底公式换成任意底数。

考虑 $2^{\log_7{\frac{21}{5}}}=2^{\frac{\log_2{\frac{21}{5}}}{\log_27}}=\left(\frac{21}{5}\right)^{\log_72}$。

同理有 $3^{\log_7{\frac{35}{2}}}=\left(\dfrac{35}{2}\right)^{\log_73}$，$5^{\log_7{\frac{14}{3}}}=\left(\dfrac{14}{3}\right)^{\log_75}$。

令原式为 $S$，则

$\begin{aligned} \log_7S&=\log_7{\left(\dfrac{21}{5}\right)^{\log_72}}+\log_7{\left(\dfrac{35}{2}\right)^{\log_73}}+\log_7{\left(\dfrac{14}{3}\right)^{\log_75}}\\ &=\log_72\cdot\log_7{\left(\dfrac{21}{5}\right)}+\log_73\cdot\log_7{\left(\dfrac{35}{2}\right)}+\log_75\cdot\log_7{\left(\dfrac{14}{3}\right)}\\ &=\log_72(\log_721-\log_75)+\log_73(\log_735-\log_72)+\log_75(\log_714-\log_73)\\ &=\log_72(\log_73+1-\log_75)+\log_73(\log_75+1-\log_72)+\log_75(\log_72+1-\log_73)\\ &=\log_72+\log_73+\log_75\\ &=\log_730 \end{aligned}$

故 $S=30$。

例题 3.1.3：求值：$\log_2{\dfrac{2^{\lg2}}{1^{\lg1}}}+\log_6{\dfrac{3^{\lg3}}{2^{\lg2}}}+\log_{12}{\dfrac{4^{\lg4}}{3^{\lg3}}}+\cdots+\log_{999000}{\dfrac{1000^{\lg1000}}{999^{\lg999}}}$

解析 3.1.3：比较明显的第一步，需要多种公式。

考虑第 $i$ 项为 $\log_{i(i+1)}{\dfrac{(i+1)^{\lg{(i+1)}}}{i^{\lg i}}}$，设为 $a_i$。

则有

$\begin{aligned} a_i&=\lg{(i+1)}\cdot\log_{i(i+1)}{(i+1)}-\lg{i}\cdot\log_{i(i+1)}{i}\\ &=\lg{(i+1)}\cdot\dfrac{\lg (i+1)}{\lg i+\lg (i+1)}-\lg{i}\cdot\dfrac{\lg i}{\lg i+\lg (i+1)}\\ &=\dfrac{\lg^2(i+1)-\lg^2i}{\lg i+\lg (i+1)}\\ &=\lg (i+1)-\lg i \end{aligned}$

故原式为 $\sum\limits_{i=1}^{999}a_i=\lg 1000-\lg 1=3$。

例题 3.1.4：设 $1<a\le b\le c$，求证：$\log_ab+\log_bc+\log_ca\le\log_ba+\log_cb+\log_ac$。

解析 3.1.4：一眼换底公式。

$\begin{aligned} &\log_ab+\log_bc+\log_ca\le\log_ba+\log_cb+\log_ac\\ \iff&\dfrac{\ln b}{\ln a}+\dfrac{\ln c}{\ln b}+\dfrac{\ln a}{\ln c}\le\dfrac{\ln a}{\ln b}+\dfrac{\ln b}{\ln c}+\dfrac{\ln c}{\ln a}\\ \iff&\dfrac{\ln a-\ln c}{\ln b}+\dfrac{\ln b-\ln a}{\ln c}+\dfrac{\ln c-\ln b}{\ln a}\ge 0\\ \iff&\dfrac{(\ln a-\ln b)(\ln b-\ln c)(\ln c-\ln a)}{\ln a\ln b\ln c}\ge 0 \end{aligned}$

由 $1\le a\le b\le c$ 成立。

例题 3.1.5：易知 $x,y,z>0$ 且满足 $2^x=3^y=5^z$，试比较 $2x,3y,5z$ 的大小。

解析 3.1.5：一眼连等换元。

令 $2^x=3^y=5^z=t$，则 $2z=2\log_2t>0$，$3y=3\log_3t>0$，$5z=5\log_5t>0$。

考虑 $\dfrac{2x}{3y}=\dfrac{2\log_t3}{3\log_t2}=\dfrac{2}{3}\log_23=\log_89>1$，从而 $2x>3y$。

同理有 $\dfrac{3y}{5z}=\log_{143}125<1$，$\dfrac{2x}{5y}=\log_{32}25<1$。

故 $5z>2x>3y$。

例题 3.1.6：设 $\log_{90}12=a$，$\log_910=b$，用 $a,b$ 表示 $\lg 5$。

解析 3.1.6：将所有的对数拆成最小形式，用最小的成分去表示。

易知 $a=\dfrac{\log_312}{\log_390}=\dfrac{1+2\log_32}{2+\log_32+\log_35}$，$b=\dfrac{\log_32+\log_35}{2}$。

令 $x=\log_32$，$y=\log_35$，则有

$\left\{ \begin{aligned} a&=\dfrac{1+2x}{2+x+y}\\ b&=\dfrac{x+y}{2} \end{aligned} \right.$

解得

$\left\{ \begin{aligned} x&=a+ab-\dfrac{1}{2}\\ y&=2b-a-ab+\dfrac{1}{2} \end{aligned} \right.$

故 $\lg5=\dfrac{y}{x+y}=\dfrac{4b-2a-2ab+1}{4b}$。

例题 3.1.7：设实数 $a,b>1$，令 $y=\min\{\log_a2,\log_2b,\log_b(8a^2)\}$，求 $y$ 的最大值。

解析 3.1.7：对于 $\max$ 或 $\min$ 函数的问题只需要利用不等式的性质。

由题意

$\left\{ \begin{aligned} &\log_a2\ge y\\ &\log_2b\ge y\\ &\log_b(8a^2)\ge y \end{aligned} \right.$

故有 $y\le\dfrac{3+2\log_2a}{\log_2b}=\cfrac{3+\cfrac{2}{\log_a2}}{\log_2b}\le\dfrac{3+\cfrac{2}{y}}{y}$。

故 $y^3\le3y+2$，即 $(y-2)(y+1)^2\le 0$，解得 $y\le 2$。

当 $a=\sqrt{2}$，$b=2$ 时可以取得。

例题 3.1.8：已知实数 $x,y\ge 1$ 满足 $(\log_ax)^2+(\log_ay)^2=\log_a(ax^2)+\log_a(ay^2)$。当 $a>1$ 时，求 $\log_a(xy)$ 的取值范围。

解析 3.1.8：展开成二元形式，利用韦达定理构造方程。

原式即为 $(\log_ax)^2+(\log_ay)^2=2+2\log_ax+2\log_ay$。

令 $u=\log_ax$，$v=\log_ay$，则有 $\log_a(xy)=u+v$，设其为 $m$。

故 $uv=\dfrac{1}{2}((u+v)^2-(u^2+v^2))=\dfrac{1}{2}(m^2-2(1+m))=\dfrac{m^2}{2}-m-1$。

从而 $u,v$ 为关于 $k$ 的方程 $k^2-mk+\dfrac{m^2}{2}-m-1=0$ 的两个非负实根，只需满足

$\left\{ \begin{aligned} &\Delta=m^2-4\left(\dfrac{m^2}{2}-m-1\right)\ge 0\\ &\dfrac{m^2}{2}-m-1\ge0\\ &m\ge0 \end{aligned} \right.$

解得 $m\in[1+\sqrt{3},2+2\sqrt{2}]$，此即 $\log_a(xy)$ 取值范围。

3.2 对数函数的定义域和值域

对数函数是形如 $y=\log_ax$ 的函数，其中 $a\in(0,1)\cup(1,+\infty)$。其定义域为 $(0,+\infty)$，值域为 $\mathbb{R}$。

对于 $y=\log_af(x)$ 形式的函数，需要根据 $f(x)$ 具体分析。

例题 3.2.1：求函数 $y=\sqrt{\log_{0.5}(x-3)}$ 的定义域。

解析 3.2.1：根号下要大于等于 $0$，对数内要大于 $0$。易得定义域为 $(3,4]$。

例题 3.2.2：已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{\lg(2^x+4\cdot2^{-x}-a)}$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，求 $a$ 的取值范围。

解析 3.2.2：满足要求的函数中间有断点，所以要求函数的取值范围必须只在断点的一边。

由题意 $\lg(2^x+4\cdot2^{-x}-a)\neq 0$，即有 $2^x+4\cdot2^{-x}-a>0$ 且不为 $1$。

考虑 $2^x+4\cdot2^{-x}-a$ 连续变化，且最小值为 $4-a$，故只能 $4-a>1$，即 $a<3$。

例题 3.2.3：已知函数 $f(x)=\ln\dfrac{1-2^x+a\cdot4^x}{3}$ 值域为 $\mathbb{R}$，求 $a$ 的取值范围。

解析 3.2.3：值域为 $\mathbb{R}$ 说明真数取遍 $(0,+\infty)$。

由题意需要 $1-2^x+a\cdot4^x\le0$ 有解。

令 $t=2^x$，则有 $g(t)=1-t+at^2$。

只需 $\Delta=1-4a\ge0$，即 $a\le\dfrac{1}{4}$。

考虑函数应没有上界，只需 $a>0$。

故 $a\in\left(0,\dfrac{1}{4}\right]$。

例题 3.2.4：已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $y=\log_3\dfrac{mx^2+8x+n}{x^2+1}$ 最大值为 $2$，最小值为 $0$，求实数 $m,n$ 的值。

解析 3.2.4：最值限定了真数范围。

令 $t=3^y=\dfrac{mx^2+8x+n}{x^2+1}$，则化简有 $(m-t)x^2+8x+n-t=0$。

由于定义域为 $\mathbb{R}$ 需要 $\Delta\ge0$，即 $t^2-(m+n)t+mn-16\le0$。

又 $t\in[1,9]$，故 $(t-1)(t-9)\le0$，解得 $m=n=5$。

3.3 对数函数的单调性

对于 $y=\log_ax$，当 $a\in(0,1)$ 时函数单调递减，当 $a\in(1,+\infty)$ 时函数单调递增。

对于 $y=\log_a{f(x)}$，当 $a\in(0,1)$ 时函数单调区间与 $f(x)$ 相反，当 $a\in(1,+\infty)$ 时函数单调区间与 $f(x)$ 相同。

例题 3.3.1：求函数 $f(x)=\sqrt{\log_{0.5}(x^2-2x-1.25)}$ 的单调增区间。

解析 3.3.1：底数小于 $1$，原函数单调增区间和真数相反。

由定义域要求有 $x^2-2x-\dfrac{5}{4}\in(0,1]$，解得 $x\in\left[\dfrac{2-\sqrt{13}}{2},-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{2+\sqrt{13}}{2}\right]$

易知 $x^2-2x-\dfrac{5}{4}$ 在 $(-\infty,1)$ 单调递减，故 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{2-\sqrt{13}}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$ 单调递增。

例题 3.3.2：若函数 $f(x)=\log_a\left(ax^2-x+\dfrac{1}{2}\right)$ 在区间 $[1,2]$ 上恒正，求 $a$ 的取值范围。

解析 3.3.2：讨论底数范围即可。

当 $a>1$ 时，只需 $ax^2-x+\dfrac{1}{2}>1$ 在区间 $[1,2]$ 恒成立 。

故有 $a>\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x^2}$。易知右式在 $x=1$ 取最大值，故 $a>\dfrac{3}{2}$。

当 $0<a<1$ 时，只需 $0<ax^2-x+\dfrac{1}{2}<1$ 在区间 $[1,2]$ 恒成立。

• $ax^2>x-\dfrac{1}{2}\iff a>\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x^2}=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}-1\right)+\dfrac{1}{2}$。易知右式在 $x=1$ 取得最大值，故 $a>\dfrac{1}{2}$。

• $ax^2<x+\dfrac{1}{2}\iff a<\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x^2}$。易知右式在 $x=2$ 取得最小值，故 $a<\dfrac{5}{8}$。

综上 $a\in\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{8}\right)\cup\left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)$。

例题 3.3.3：设函数 $f(x)=\log_ax$，若 $g(x)=f(x)(f(x)+2f(2)-1)$ 在区间 $\left[\dfrac{1}{2},2\right]$ 上是增函数，求 $a$ 的取值范围。

解析 3.3.3：讨论底数范围即可。

由题意 $g(x)=f^2(x)+(2\log_a2-1)f(x)$。对称轴为 $-\dfrac{2\log_a2-1}{2}=\dfrac{1}{2}-\log_a2$。

若 $0<a<1$，则 $\log_a2\le f(x)\le \log_a\dfrac{1}{2}$。

此时需要 $f(x)$ 单调递减，即 $\dfrac{1}{2}-\log_a2\ge\log_a\dfrac{1}{2}=-\log_a2$，恒成立。

若 $a>1$，则 $\log_a\dfrac{1}{2}\le f(x)\le\log_a2$。

此时需要 $f(x)$ 单调递增，即 $\dfrac{1}{2}-\log_a2\le\log_a\dfrac{1}{2}=-\log_a2$，无解。

故 $a\in(0,1)$。

例题 3.3.4：已知函数 $f(x)=\log_a^2x+2\log_ax-3$ 在区间 $\left[\dfrac{1}{2},4\right]$ 上有最大值 $12$，求 $a$ 的值。

解析 3.3.4：对数函数的单调性导致最大值一定在端点取到，分类计算即可。

令 $t=\log_ax$，则 $t^2+2t-3=12$，解得 $t=3$ 或 $-5$。

若 $\log_a\dfrac{1}{2}=3$，此时 $\log_a4=-6$，最大值为 $f(4)>12$，舍去。

若 $\log_a\dfrac{1}{2}=-5$，此时 $\log_a4=10$，最大值为 $f(4)>12$，舍去。

若 $\log_a4=3$，此时 $\log_a\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}$，经检验成立。

若 $\log_a4=-5$，此时 $\log_a\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$，经检验成立。

故 $a=2^{\frac{2}{3}}$ 或 $2^{-\frac{2}{5}}$。

例题 3.3.5：若不等式 $\log_{\frac{1}{a}}(\sqrt{x^2+ax+5}+1)\cdot\log_5(x^2+ax+6)+\log_a3\ge0$ 有且只有一个解，求 $a$ 的值。

解析 3.3.5：底数乱七八糟，考虑直接换底统一。

原式即 $\dfrac{\ln(\sqrt{x^2+ax+5}+1)}{-\ln a}\cdot\dfrac{\ln(x^2+ax+6)}{\ln 5}+\dfrac{\ln 3}{\ln a}\ge 0$。

令 $t=\sqrt{x^2+ax+5}\ge 0$。

若 $0<a<1$，则 $\ln a<0$，原式即 $\ln(t+1)\ln(t^2+1)\ge\ln3\ln5$。

考虑左式为增函数，且 $t=2$ 时取等，故 $t\ge2$。

从而 $x^2+ax+5\ge 4$ 有且仅有一个解，显然不成立。

若 $a>1$，则 $\ln a>0$，原式即 $\ln(t+1)\ln(t^2+1)\le\ln3\ln5$。

同理只需 $x^2+ax+5\le4$，解得 $a=\pm2$，由 $a>1$ 有 $a=2$。

4 指对综合

这一部分的题目很多样，综合了各方面的因素，需要考虑全面。

4.1 指对方程和不等式

这类题目往往都是套了一个对数的形式，可以拆掉利用指数函数单调性解决。

例题 4.1.1：设 $p,q$ 为正实数，且满足 $\log_9p=\log_{12}q=\log_{16}(p+q)$，求 $\dfrac{q}{p}$ 的值。

解析 4.1.1：不同底数的对数不好处理，化成指数即可。

令 $t=\log_9p=\log_{12}q=\log_{16}(p+q)$，则有 $16^t=p+q=9^t+12^t$，且 $\dfrac{q}{p}=\dfrac{12^t}{9^t}=\left(\dfrac{4}{3}\right)^t>0$。

变形得到 $1+\left(\dfrac{4}{3}\right)^t=\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2t}$。解得 $\left(\dfrac{4}{3}\right)^t=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。

例题 4.1.2：若正实数 $a,b$ 满足 $2+\log_2a=3+\log_3b=\log_6(a+b)$，求 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 的值。

解析 4.1.2：一样的方法。

令 $t=2+\log_2a=3+\log_3b=\log_6(a+b)$，则有 $6^t=a+b=2^{t-2}+3^{t-3}$。

从而 $a+b=2^2\cdot3^3\cdot ab$，即 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=108$。

例题 4.1.3：解不等式 $\log_6(1+\sqrt{x})>\log_{25}x$。

解析 4.1.3：常规套路，拆掉对数。

令 $t=\log_{25}x$，原不等式即 $\log_6(1+5^t)>t$。

从而 $1+5^t>6^t$，$\left(\dfrac{1}{6}\right)^t+\left(\dfrac{5}{6}\right)^t=1$。

易知不等式左边单调递减，且当 $t=1$ 时左边等于右边，故 $t<1$，即 $x\in(0,25)$。

例题 4.1.4：解方程 $\log_{12}(\sqrt{x}+\sqrt[4]{x})=\dfrac{1}{2}\log_9x$。

解析 4.1.4：常规套路，拆掉对数。

令 $3^t=\sqrt[4]{x}$，原式即 $\log_{12}(9^t+3^t)=t$。

从而 $9^t+3^t=12^t$，$\left(\dfrac{3}{4}\right)^t+\left(\dfrac{1}{4}\right)^t=1$。

易知等式左边单调递减，且当 $t=1$ 时左边等于右边，故 $t=1$，即 $x=81$。

例题 4.1.5：解方程 $\dfrac{2x+\sqrt{4x^2+1}}{x^2+1+\sqrt{(x^2+1)^2+1}}=2^{(x-1)^2}$。

解析 4.1.5：观察到左边构造相同，考虑转化为线性关系。

左右取关于 $2$ 的对数有 $\log_2(2x+\sqrt{4x^2+1})-\log_2(x^2+1+\sqrt{(x^2+1)^2+1}) =(x-1)^2$。

令 $f(x)=\log_2(x+\sqrt{x^2+1})$，易知 $f(x)$ 单调递增。

故左式为 $f(2x)-f(x^2+1)$，由 $2x\le x^2+1$ 有 $f(2x)-f(x^2+1)\le0$。

而右式为 $(x-1)^2\ge0$，故只能 $f(2x)-f(x^2+1)=(x-1)^2=0$，即 $x=1$。

4.2 反函数

函数和其反函数关于 $y=x$ 对称，值域和定义域互换。

例题 4.2.1：设函数 $f(x)=\sqrt[4]{\dfrac{4x+1}{3x+2}}$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，解方程 $f(x)=f^{-1}(x)$。

解析 4.2.1：原函数在各段内单增，其反函数也应在各段内单增，故交点只能在 $y=x$ 上。

$f(x)=f^{-1}（x)\iff f(x)=x\iff (x-1)(3x^4+5x^3+5x^2+5x+1)=0$。

由于原函数值域为 $[0,+\infty)$，故交点只能在第一象限，故 $x=1$。

例题 4.2.2：设 $f(x)=\log_a(x+\sqrt{x^2-2})$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，设 $g(n)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}f^{-1}(n+\log_a\sqrt{2})$。若对于任意 $n\in\mathbb{N}^+$ 都有 $g(n)<\dfrac{3^n+3^{-n}}{2}$，求 $a$ 的取值范围。

解析 4.2.2：算出反函数暴力代入。

$f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2}a^x+a^{-x}$。若 $a>1$ 则定义域为 $[\log_a\sqrt{2},+\infty)$，若 $0<a<1$ 则定义域为 $(-\infty,\log_a\sqrt{2}]$。

代入有 $g(n)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{1}{2}a^{n+\log_a\sqrt{2}}+a^{-n-\log_a\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^n+\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^{-n}\right)=\dfrac{a^n+a^{-n}}{2}$。

又 $g(n)<\dfrac{3^n+3^{-n}}{2}$ 有 $a<3$。

考虑 $n+\log_a\sqrt{2}$ 应该在 $f^{-1}(x)$ 定义域内，且 $n\in\mathbb{N}^+$，从而 $a>1$。

故 $a\in(1,3)$。

5 幂函数

幂函数为形如 $y=x^{\alpha}$ 的函数，其中 $\alpha\in\mathbb{R}$。注意系数必须为 $1$。

对于幂函数 $y=x^{\alpha}$，其在第一象限内的单调性由 $\alpha$ 决定。

• 若 $\alpha>0$，则函数在第一象限内单调递增。

• 若 $\alpha=0$，则函数没由单调性。

• 若 $\alpha<0$，则函数在第一象限内单调递减。

对于幂函数 $y=x^{\frac{n}{m}}$，其中 $n,m\in\mathbb{Z}$ 且 $\gcd(n,m)=1$，其定义域和奇偶性由指数决定。

• 若 $m$ 为偶数，则函数定义域为 $(0,+\infty)$，无奇偶性。

• 若 $m,n$ 均为奇数，则函数定义域为 $\mathbb{R}$，函数为奇函数。

• 若 $m$ 为奇数，$n$ 为偶数，则函数定义域为 $\mathbb{R}$，函数为偶函数。

这块题不太难，不放题了。

物理

占坑。期末前开更。

upd 1.6：弃坑了，没时间写了。

化学

upd 12.26：开更啦！化学感觉都是一些性质类的东西，不打算写很多题了。

1 金属

弃坑了。

2 溶液

弃坑了。

3 酸碱盐

3.1 电解质

在溶于水或熔融状态下能导电或电离的化合物称为电解质，无论如何都不能导电的化合物为非电解质。

在水中能完全电离的电解质为强电解质，只能部分电离的为弱电解质。

电离时生成的阳离子只有 $\text{H}^+$ 离子的化合物称为酸。

电离时生成的阴离子只有 $\text{OH}^-$ 离子的化合物称为碱。

电离时生成金属离子或铵根离子和酸根离子的化合物称为盐。

酸碱盐都是电解质，强酸强碱和绝大部分盐都是强电解质，弱酸弱碱和极少的盐是弱电解质。

3.2 电离方程式

电离方程式的书写要注意强电解质一步电离，弱电解质分步电离且可逆。

硫酸电离方程式为

$\text{H}_2\text{SO}_4=2\text{H}^++\text{SO}_4^{2-}$

碳酸电离方程式为

$\text{H}_2\text{CO}_3\rightleftarrows\text{H}^++\text{HCO}_3^-$

$\text{HCO}_3^-\rightleftarrows\text{H}^++\text{CO}_3^{2-}$

氢氧化铜电离方程式为

$\text{Cu(OH)}_2\rightleftarrows\text{Cu}^{2+}+2\text{OH}^-$

碳酸氢钠电离方程式为

$\text{NaHCO}_3=\text{Na}^++\text{HCO}_3^-$

3.3 酸碱盐的性质

紫色石蕊溶液遇碱变蓝，遇酸变红。无色酚酞溶液遇碱变红。

酸根据电离出的氢离子数目分为一元酸、二元酸、三元酸等。碱根据电离出的氢氧根离子数目分为一元碱、二元碱、三元碱等。

浓硫酸具有吸水性和强氧化性，浓盐酸具有挥发性。

六大强酸：硫酸 $\text{H}_2\text{SO}_4$，盐酸 $\text{HCl}$，硝酸 $\text{HNO}_3$，高氯酸 $\text{HClO}_4$，氢溴酸 $\text{HBr}$，氢碘酸 $\text{HI}$。

酸性从大到小：$\text{HClO}_4>\text{HI}>\text{HBr}>\text{HCl}>\text{H}_2\text{SO}_4>\text{HNO}_3$。

四大强碱：氢氧化钾 $\text{KOH}$，氢氧化钠 $\text{NaOH}$，氢氧化钡 $\text{Ba(OH)}_2$，氢氧化钙 $\text{Ca(OH)}_2$。

碱性从大到小： $\text{KOH}>\text{Ca(OH)}_2>\text{NaOH}>\text{Ba(OH)}_2$。

酸和碱反应生成盐和水。

$\text{Cu(OH)}_2+\text{H}_2\text{SO}_4=\text{CuSO}_4+2\text{H}_2\text{O}$

$\text{Fe(OH)}_3+3\text{HCl}=\text{FeCl}_3+3\text{H}_2\text{O}$

酸和碱性氧化物生成盐和水。

$\text{Fe}_2\text{O}_3+6\text{HCl}=2\text{FeCl}_3+3\text{H}_2\text{O}$

$\text{CuO}+\text{H}_2\text{SO}_4=\text{CuSO}_4+\text{H}_2\text{O}$

酸性氧化物和碱生成盐和水。

$\text{CO}_2+\text{Ca(OH)}_2=\text{CaCO}_3\downarrow+\text{H}_2\text{O}$

$\text{SO}_3+2\text{NaOH}=\text{Na}_2\text{SO}_4+\text{H}_2\text{O}$

酸和盐反应生成新酸和新盐。

$\text{AgNO}_3+\text{HCl}=\text{AgCl}\downarrow+\text{HNO}_3$

$\text{BaCl}_2+\text{H}_2\text{SO}_4=\text{BaSO}_4\downarrow+2\text{HCl}$

碱和盐反应生成新碱和新盐。

$\text{NH}_4\text{Cl}+\text{NaOH}=\text{NaCl}+\text{NH}_3\uparrow+\text{H}_2\text{O}$

$\text{FeCl}_3+3\text{NH}_3\cdot\text{H}_2\text{O}=3\text{NH}_4\text{Cl}+\text{Fe(OH)}_3\downarrow$

盐与盐反应生成沉淀。

$\text{BaCl}_2+\text{Na}_2\text{CO}_3=2\text{NaCl}+\text{BaCO}_3\downarrow$

$\text{AgNO}_3+\text{NaCl}=\text{AgCl}\downarrow+\text{NaNO}_3$

复分解反应的发生需要至少满足以下三个条件之一：

• 反应有弱电解质生成。

• 反应有气体生成。

• 反应有难溶性沉淀生成。

3.3 离子反应

电解质溶于水后，在溶液中的反应实质是离子间的反应。

离子方程式的书写注意以下几点：

• 电荷守恒。

• 弱电解质和沉淀不能拆开。

• 可溶性强电解质需要拆开。

语文

诗歌太多了，在这里补一补赏析吧...

upd 1.3： 被迫开更。题目加粗的为背默篇目。

1.《咏史八首》（其二）【西晋】左思

郁郁涧底松，离离山上苗。
以彼径寸茎，荫此百尺条。
世胄蹑高位，英俊沉下僚。
地势使之然，由来非一朝。
金张藉旧业，七叶珥汉貂。
冯公岂不伟，白首不见招。

对比了寒士和名门望族的不同境遇，严厉批判了腐朽的门阀士族制度。

关键词：愤世嫉俗，比喻精当，对比强烈。

2.《猛虎行》【西晋】陆机

渴不饮盗泉水，热不息恶木阴。
恶木岂无枝？志士多苦心。
整驾肃时命，杖策将远寻。
饥食猛虎窟，寒栖野雀林。
日归功未建，时往岁载阴。
崇云临岸骇，鸣条随风吟。
静言幽谷底，长啸高山岑。
急弦无懦响，亮节难为音。
人生诚未易，曷云开此衿？
眷我耿介怀，俯仰愧古今。

描写了诗人在官场浮沉之中起伏的思绪和复杂的心情。

关键词：正反用典，表意曲折，内容丰富。

3.《杂诗》【西晋】王赞

朔风动秋草，边马有归心。
胡宁久分析，靡靡忽至今?
王事离我志，殊隔过商参。
昔往鸧鹒鸣，今来蟋蟀吟。
人情怀旧乡，客鸟思故林。
师涓久不奏，谁能宣我心！

抒发因长久征战在外而产生的强烈思乡之情。

关键词：直抒胸臆，质朴率真，感情真挚。

4.《游仙诗十九首》（其九）【东晋】郭璞

采药游名山，将以救年颓。
呼吸玉滋液，妙气盈胸怀。
登仙抚龙驷，迅驾乘奔雷。
鳞裳逐电曜，云盖随风回。
手顿羲和辔，足蹈阊阖开。
东海犹蹄涔，昆仑蝼蚁堆。
遐邈冥茫中，俯视令人哀。

描写采药服食登仙驰骋的情景，表现了一种阔达的胸怀。

关键词：气宇阔大，笔势雄浩。

5.《兰亭诗二首》（其二）【东晋】孙统

地主观山水，仰寻幽人踪。
回沼激中逵，疏竹间修桐。
因流转轻觞，冷风飘落松。
时禽吟长涧，万籁吹连峰。

在清秀之景的描写中表现了妙赏自然的洒脱情怀。

关键词：情景交融，以动为美。

6.《归园田居》（其一）【东晋】陶渊明

少无适俗韵，性本爱丘山。
误落尘网中，一去三十年。
羁鸟恋旧林，池鱼思故渊。
开荒南野际，守拙归园田。
方宅十余亩，草屋八九间。
榆柳荫后檐，桃李罗堂前。
暧暧远人村，依依墟里烟。
狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。
户庭无尘杂，虚室有余闲。
久在樊笼里，复得返自然。

表达了主人公归隐后的轻松愉快之情，描绘了农村生活的景象。

关键词：淳朴深厚，本色自然。

7.《读山海经十三首》（其十）【东晋】陶渊明

精卫衔微木，将以填沧海。
刑天舞干戚，猛志固常在。
同物既无虑，化去不复悔。
徒设在昔心，良辰讵可待！

写诗人的壮志，在悲凉感慨中显示了金刚怒目的风格。

关键词：慷慨悲凉，不畏强暴。

8.《拟挽歌辞三首》（其三）【东晋】陶渊明

荒草何茫茫，白杨亦萧萧。
严霜九月中，送我出远郊。
四面无人居，高坟正嶣峣。
马为仰天鸣，风为自萧条。
幽室一已闭，千年不复朝。
千年不复朝，贤达无奈何。
向来相送人，各自还其家。
亲戚或余悲，他人亦已歌。
死去何所道，托体同山阿。

以代言体的方式，以真情构思写出人死后的悲哀情景，透露出浓重的悲哀。

关键词：正面谱写，侧面反衬。

9.《子夜四时歌·秋歌》（其十六）南朝民歌

白露朝夕生，秋风凄长夜。忆郎须寒服，乘月捣白素。

描写秋景，传达浓浓的情思。

关键词：情景交融，语言纯净。

10.《子夜四时歌·冬歌》（其六）南朝民歌

昔别春草绿，今还墀雪盈。谁知相思老，玄鬓白发生。

描写冬景，表达对家人爱之深。

关键词：情景交融，苦词写意。

11.《西洲曲》 南朝民歌

忆梅下西洲，折梅寄江北。
单衫杏子红，双鬓鸦雏色。
西洲在何处？两桨桥头渡。
日暮伯劳飞，风吹乌臼树。
树下即门前，门中露翠钿。
开门郎不至，出门采红莲。
采莲南塘秋，莲花过人头。
低头弄莲子，莲子青如水。
置莲怀袖中，莲心彻底红。
忆郎郎不至，仰首望飞鸿。
鸿飞满西洲，望郎上青楼。
楼高望不见，尽日栏杆头。
栏杆十二曲，垂手明如玉。
卷帘天自高，海水摇空绿。
海水梦悠悠，君愁我亦愁。
南风知我意，吹梦到西洲。

通过描写西洲采莲、高楼远望表达对所思之人的怀念。

关键词：借景抒情，摇曳无穷。

12.《五君咏五首》（其一）【南朝】颜延之

阮公虽沦迹，识密鉴亦洞。
沈醉似埋照，寓辞类托讽。
长啸若怀人，越礼自惊众。
物故不可论，途穷能无恸。

写阮籍外表沦迹而内有深意，写出其不被理解和对世事的鄙薄。

关键词：写事明人。

13.《五君咏五首》（其二）【南朝】颜延之

中散不偶世，本自餐霞人。
形解验默仙，吐论知凝神。
立俗迕流议，寻山洽隐沦。
鸾翮有时铩，龙性谁能驯。

写嵇康的高才和高世之姿，写出其反抗世俗的不羁。

关键词：仙姿写人。

14.《五君咏五首》（其三）【南朝】颜延之

刘伶善闭关，怀清灭闻见。
鼓钟不足欢，荣色岂能眩。
韬精日沉饮，谁知非荒宴。
颂酒虽短章，深衷自此见。

写刘伶因为愤激世俗而冷漠于外，追求意足的行事方式。

关键词：直写内心，玄理寄怀。

15.《登池上楼》【南朝】谢灵运

潜虬媚幽姿，飞鸿响远音。
薄霄愧云浮，栖川怍渊沈。
进德智所拙，退耕力不任。
狥禄反穷海，卧疴对空林。
衾枕昧节候，褰开暂窥临。
倾耳聆波澜，举目眺岖嵚。
初景革绪风，新阳改故阴。
池塘生春草，园柳变鸣禽。
祁祁伤豳歌，萋萋感楚吟。
索居易永久，离群难处心。
持操岂独古，无闷征在今。

描写初春之景，并表现出在出仕和归隐之间徘徊的苦闷矛盾的心理。

关键词：比兴反说。

16.《拟行路难十八首》（其六）【南朝】鲍照

对案不能食，拔剑击柱长叹息。
丈夫生世会几时，安能蹀躞垂羽翼？
弃置罢官去，还家自休息。
朝出与亲辞，暮还在亲侧。
弄儿床前戏，看妇机中织。
自古圣贤尽贫贱，何况我辈孤且直。

本诗表现诗人遭受压抑而有志难伸的愤怒。

关键词：曲而直之，抑而扬之。

17.《拟行路难十八首》（其十五）【南朝】鲍照

君不见柏梁台，今日丘墟生草莱。
君不见阿房宫，寒云泽雉栖其中。
歌妓舞女今谁在？高坟垒垒满山隅。
长袖纷纷徒竞世，非我昔时千金躯。
随酒逐乐任意去，莫令含叹下黄垆。

抒发对盛而必衰的感慨，是一种壮志未酬的激愤语。

关键词：对比反衬，意在言外。

18.《赠范晔诗》【南朝】陆凯

折花逢驿使，寄与陇头人。
江南无所有，聊赠一枝春。

写赠花寄人一事，表达对友人的祝福。

关键词：时空转换。

19.《读曲歌八十九首》（其二十一）南朝民歌

逋发不可料，憔悴为谁睹。
欲知相忆时，但看裙带缓几许。

以新颖的量化写法从侧面体现出深沉的相思之情。

关键词：具量写照，侧面描写。

20.《登山曲》【南朝】谢朓

天明开秀崿，澜光媚碧堤。
风荡飘莺乱，云行芳树低。
暮春春服美，游驾凌丹梯。
升峤既小鲁，登峦且怅齐。
王孙尚游衍，蕙草正萋萋。

描写登山游赏时所见的明净清丽之景。

关键词：写景明丽，韵味清微。

21.《晚登三山还望京邑》【南朝】谢朓

灞涘望长安，河阳视京县。
白日丽飞甍，参差皆可见。
余霞散成绮，澄江静如练。
喧鸟覆春洲，杂英满芳甸。
去矣方滞淫，怀哉罢欢宴。
佳期怅何许，泪下如流霰。
有情知望乡，谁能鬒不变！

描写京城美景，抒发怀乡的感叹。

关键词：写景明丽，抒情哀婉。

22.《感春冰遥和谢中书二首》（其一）【南朝】江淹

江皋桐始华，敛衣望边亭。
平原何寂寂，岛暮兰紫茎。
芬披好草合，流烂新光生。
冰雪徒皦洁，此焉空守贞。

作者写暮春的景象，以乐景衬哀情，感叹守贞不易。

关键词：写景清新，乐哀相衬。

23.《之零陵郡次新亭》【南朝】范云

江干远树浮，天末孤烟起。
江天自如合，烟树还相似。
沧流未可源，高帆去何已。

写江边空旷浩渺之景，表达出远行的惆怅。

关键词：朦胧迷茫。

24.《赠王左丞》【南朝】何逊

櫩外莺啼罢，园里日光斜。
游鱼乱水叶，轻燕逐风花。
长墟上寒霭，晓树没归霞。
九华暮已隐，抱郁徒交加。

描写园中景色，表达忧郁之情。

关键词：写景真切。

25.《江上酬鲍几诗》【南朝】吴均

振棹出江湄，依依望九疑。
欲谒苍梧帝，过问沅湘姬。
折荷缝作盖，落羽纺成丝。
吾行别有意，不为君道之。

诗人云游途中感念尧舜，表达了对清明政治的期盼。

关键词：虚实结合，布设疑团。

26.《入若耶溪诗》【南朝】王籍

艅艎何泛泛， 空水共悠悠。
阴霞生远岫， 阳景逐回流。
蝉噪林逾静， 鸟鸣山更幽。
此地动归念， 长年悲倦游。

此时写若耶溪美景，表达归隐家园的意愿。

关键词：以动衬静。

27.《秋思》【北齐】萧悫

清波收潦日，华林鸣籁初。
芙蓉露下落，杨柳月中疏。
燕帏缃绮被，赵带流黄裾。
相思阻音息，结梦感离居。

描写秋日的景色，抒发思乡之情。

关键词：借景抒情。

28.《敕勒歌》 北朝民歌

敕勒川，阴山下。
天似穹庐，笼盖四野。
天苍苍，野茫茫。
风吹草低见牛羊。

描写塞上草原风光，表达对家乡的自豪和思念。

关键词：境界博大，豪放粗犷。

29.《拟咏怀诗二十七首》（其十一）【北周】庾信

摇落秋为气，凄凉多怨情。
啼枯湘水竹，哭坏杞梁城。
天亡遭愤战，日蹙值愁兵。
直虹朝映垒，长星夜落营。
楚歌饶恨曲，南风多死声。
眼前一杯酒，谁论身后名。

抒发对江陵陷落的哀怨和悲愤之情，大量用典。

关键词：以典喻事。

30.《关山月二首》（其二）【南朝】徐陵

月出柳城东，微云掩复通。
苍茫萦白晕，萧瑟带长风。
羌兵烧上郡，胡骑猎云中。
将军拥节起，战士夜鸣弓。

以特写手法从景到人展现出边关将士临战迎敌的场面。

关键词：由景及人，特写放大。

31.《七夕宴重咏牛女各为五韵诗》【南朝】陈叔宝

明月照高台，仙驾忽徘徊。
雷徙闻车度，霞上见妆开。
房移看动马，斗转望斟杯。
靥色随星去，髻影杂云来。
更觉今宵短，只遽日轮催。

描写牛郎织女七夕相会的场景，想象丰富，写形传情。

关键词：奇异美丽。

32.《从军行》【隋】卢思道

朔方烽火照甘泉，长安飞将出祁连。犀渠玉剑良家子，白马金羁侠少年。
平明偃月屯右地，薄暮鱼丽逐左贤。谷中石虎经衔箭，山上金人曾祭天。
天涯一去无穷已，蓟门迢递三千里。朝见马岭黄沙合，夕望龙城阵云起。
庭中奇树已堪攀，塞外征人殊未还。白雪初下天山外，浮云直向五原间。
关山万里不可越，谁能坐对芳菲月。流水本自断人肠，坚冰旧来伤马骨。
边庭节物与华异，冬霰秋霜春不歇。长风萧萧渡水来，归雁连连映天没。
从军行，军行万里出龙庭。单于渭桥今已拜，将军何处觅功名。

描写将士征战在外久久不归，对家乡思念深切。

关键词：虚实结合，壮柔兼济。

33.《重酬杨仆射山亭诗》【隋】薛道衡

寂寂无与晤，朝端去总戎。
空庭聊步月，闲坐独临风。
临风时太息，步月山泉侧。
朝朝散霞彩，暮暮澄秋色。
秋色遍皋兰，霞彩落云端。
吹旌朔气冷，照剑日光寒。
光寒塞草平，气冷咽笳声。
将军献凯入，蔼蔼风云生

写自己因为没有好友可以会晤的寂寞情怀，想象塞外行军和胜利归来的场景，表达怀友的深情。

关键词：顶针回环，虚实结合。

34.《村行》【北宋】王禹偁

马穿山径菊初黄，信马悠悠野兴长。
万壑有声含晚籁，数峰无语立斜阳。
棠梨叶落胭脂色，荞麦花开白雪香。
何事吟余忽惆怅？村桥原树似吾乡。

描写乡野秋景，在清雅闲逸之中暗含对贬谪的失意。

关键词：通感描写，情景交融。

35.《无题》【北宋】晏殊

油壁香车不再逢，峡云无迹任西东。
梨花院落溶溶月，柳絮池塘淡淡风。
几日寂寥伤酒后，一番萧索禁烟中。
鱼书欲寄何由达，水远山长处处同。

表达恋情失意之后的凄凉，情景交融。

关键词：朦胧含蓄。

36.《戏答元珍》【北宋】欧阳修

春风疑不到天涯，二月山城未见花。
残雪压枝犹有橘，冻雷惊笋欲抽芽。
夜闻归雁生乡思，病入新年感物华。
曾是洛阳花下客，野芳虽晚不须嗟。

描写春天来迟，抒发宽解之意。

关键词：逆转出奇。

后续

啊哈哈哈哈哈全部挂大分。

物理弃坑了，所以最后挂得很惨，估计是没有高层了。

数学花了很长时间来码，最后考试还是算错了一车，最后也不是很好。

语文英语完全摆，就没打算考得怎么样。

化学完全不知道自己在做什么，感觉完全没有下限。

一次非常失败的居家学习经历，教材都被锁在了学校里，每天只能面对一摞破纸学习。

以此为由逃掉了不少东西，甚至在语文考试前几个小时才第一眼看到史记。

这段时间竞赛也没怎么学，倒是整天看剧度日，美剧看了不少，英语也没考多好。

不知道怎么收拾，如果物化都没有高层不知道下一年应该怎么办。

以后可能不会再以这种形式复习了，感觉效果并不是很好，或者说还是太仓促了，最后弃了大量的坑。

共勉。

upd 1.12：莫名其妙物理化学英语都进了高层，真是给我脸了。